平衡搜索树-AVL树 图文详解 (详情篇)

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树

• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

  

  (默认平衡因子=右子树高度-左子树高度)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。

AVL树是由BST二叉搜索树改进而来,基本概念参考BST篇,本篇文章不再详细描述.

1.1 AVL树节点的定义：

templateclass K, class V>

struct AVLTreeNode

{

		//三叉链: left right parent

AVLTreeNode* _left;   // 该节点的左孩子 

AVLTreeNode* _right;  // 该节点的右孩子 

AVLTreeNode* _parent; // 该节点的双亲

std::pair _kv;	 // 键值对

int _bf;              // 该节点的平衡因子 balance factor



		AVLTreeNode(const std::pair& kv)

			:_left(nullptr)

			, _right(nullptr)

			, _parent(nullptr)

			, _kv(kv)

			, _bf(0)

		{}

};

1.2 AVL树的插入

1.2.1 基本情况分析

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

   a. 更新父结点平衡因子

   b. 根据父结点的平衡因子进行相应的操作

对于平衡因子

插入新结点后,首先可能会影响父结点的平衡因子,迭代往上,可能还会影响部分或全部(到根节点)祖先结点的平衡因子.

具体地说,即插入新结点后,需要根据父结点平衡因子的情况,决定是否继续往上对祖结点进行更新平衡因子,最多到达根结点.

1.2.2 平衡因子对应的操作

父结点平衡因子如何决定是否继续往上更新? 取决于更新后parent->_bf的值

1. 若parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1 ,说明插入前的父结点一定是左右子树高度相等,即_bf为0.新增结点后父结点所在子树高度一定发生变化,爷爷结点所在子树也可能发生变化,因此需要进行迭代更新祖先平衡因子.

   不可能是2或-2变成1或-1,因为这是AVL树的插入,至少先保证是AVL树才能插入

   

2. 若parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2 ,说明插入前的父结点所在子树一边高一边低,之后新结点恰好插入到了高的一边,导致不平衡,需要做旋转操作,调整平衡.

3. parent->_bf == 0,插入后父结点的平衡因子平衡,说明原先父结点的左右子树是一边高一边低,然后插入刚好插到了低的一边,使其平衡.插入结束.

1.2.3 旋转操作

1.2.3.1 分析需要旋转的情况

要针对AVL子树，找出/抽象出可能发生旋转的情况。

一棵可能发生旋转的树至少高度差为1，即两个结点以上。（前提）

						（可能会发生旋转的子树至少两个结点以上） 

其中a,b,c是三棵AVL子树

• 当子树高度h==0时,即a、b、c都为空树

• 当子树高度h==1时,a、b、c都是叶子结点

• 当子树高度h==2时,a、b、c分别有三种情况

  

  此时这个AVL子树有3*3*3=27种情况：a为x/y/z，b为x/y/z，c为x/y/z。

• 如此往下，还有更多的情况，但全部形状都可以用图中模型来代替。

以h==2为例，只有当b或c为z情况时，插入到b或c子树会影响到根结点（30），并使其发生旋转。
其他情况都无法使其发生旋转。因此，当前可以出2种需要旋转的情况：

1. c为z时，插到c中（左左）
2. b为z时，插到b中（左右）

左左：较高的子树是左孩子（60）所在子树，插到左孩子（60）的左子树上（c）引发根（30）旋转的情况叫“左左”。

顺口：插在较高左子树的左孩子上。

同理，水平镜像翻转的AVL子树也同理

1. c为z时，插到c中（右右）
2. b为z时，插到b中（右左）

1.2.3.1.1 结论

合并起来总共4种需要旋转的情况，验证其他高度也同样如此。

其中插入b子树使30结点发生旋转的情况：a为x/y/z，b为z，c为x/y/z，总共3*3=9种

其中插入c子树使30结点发生旋转的情况：a为x/y/z，b为x/y/z，c为z，总共3*3=9种

特例的数量非常多，无法穷举。

1.2.3.2 4种旋转操方法与特征

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

   

   最左边高，旧根的左孩子变成新根，旧根成为新根的右孩子，同时领养新根的旧右孩子。

   儿子上位 -- 儿子当根

   右单旋（主角是儿子）：老爹在我的右上方，让老爹以我为轴，旋转到我的右下方

• 特征

  父：-2

  子：-1

• 特征

  父：2

  子：1

• 特征

  父：-2

  子：1

1. 旧根的左儿子的右孩子（简称右孙子）高：让右孙子成为旧根的左孩子，旧左孩子变成孙子的左孩子，同时领养孙子的左孩子。 -- 对右孙子做左旋操作
2. 右孙子成为旧根的新左儿子，再对新作儿子做右旋操作即可。

• 特征

  父：2

  子：-1

总共4种旋转的情况：

1. 右旋（左左）
2. 左旋（右右)
3. 先左旋再右旋（左右）
4. 先右旋再左旋（右左）

简要图：

1.2.3.3 6种双旋平衡因子特征

容易发现单旋平衡因子都是0（高度差为0），而双旋平衡因子较为复杂，观察规律出一共6种情况。

1. 左右左（h>0)

   

• 旧（特征）

  孙：-1

• 新

  父：1

  子：0

  孙：0

• 旧（特征）

  孙：1

• 新

  父：0

  子：-1

  孙：0

1. 右左右（h>0）

   

• 旧（特征）

  孙：1

• 新

  父：-1

  子：0

  孙：0

• 旧（特征）

  孙：-1

• 新

  父：0

  子：1

  孙：0

• 旧（特征）

  孙：0

• 新

  父：0

  子：0

  孙：0

• 旧（特征）

  孙：0

• 新

  父：0

  子：0

  孙：0

1.2.4 代码实现

1.2.4.1 四种旋转实现

//1. 右右

void RotateL(Node* parent) {

//. 记录爷爷(父亲的父亲)

//. 我是父的右儿子(我是主角)

//. 记录下我的左子树(托管)

//  旋转(爷、父、子关系重新调整）

//      成为爷爷的右儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根)

//      把我的左子树托管给父成为他的右孩子

//      旧父成为我的左儿子,旧父的父更新成我

//. 更新平衡因子



//. 记录爷爷(父亲的父亲)

//. 我是父的右儿子

//. 记录下我的左子树

Node* pparent = parent->_parent;

Node* cur = parent->_right;

Node* leftchild = cur->_left;



//旋转

//. 成为爷爷的右儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根)

if (pparent) {              //有爷爷

if(parent == pparent->_left)

pparent->_left = cur;

else {

pparent->_right = cur;

}

cur->_parent = pparent; //三叉链维护

}

else {                      //没有爷爷,父亲是根

cur->_parent = nullptr;

_root = cur;

}

//. 父子地位交换

parent->_right = leftchild;

if (leftchild) {            //三叉链维护

leftchild->_parent = parent;

}

cur->_left = parent;

parent->_parent = cur;

//旋转 【end】



//更新平衡因子

cur->_bf = 0;

parent->_bf = 0;

}





//2. 左左

void RotateR(Node* parent) {

//. 记录爷爷

//. 我是父的左儿子

//. 记录下我的右子树

Node* pparent = parent->_parent;

Node* cur = parent->_left;

Node* rightChild = cur->_right;



//旋转

//. 成为爷爷的左儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根)

if (pparent) {              //有爷爷

if (parent == pparent->_left)

pparent->_left = cur;

else {

pparent->_right = cur;

}

cur->_parent = pparent; //三叉链维护

}

else {                      //没有爷爷,父亲是根

cur->_parent = nullptr;

_root = cur;

}

//. 父子地位交换

parent->_left = rightChild;

if (rightChild) {            //三叉链维护

rightChild->_parent = parent;

}

cur->_right = parent;

parent->_parent = cur;

//旋转 【end】



//更新平衡因子

cur->_bf = 0;

parent->_bf = 0;



}

//3. 左右

void RotateLR(Node* parent) {

//我是儿子,但是主角是孙子

//记录下孙子

//记录下孙子的平衡因子(特征)

//对孙子进行左单旋,再右旋

//更新平衡因子

Node* cur = parent->_left;

Node* grandson = cur->_right;

int bf = grandson->_bf;



RotateL(cur);

RotateR(grandson->_parent);



//三种情况

if (bf == 0) {

parent->_bf = 0;

cur->_bf = 0;

grandson->_bf = 0;

}

else if (bf == 1) {

parent->_bf = 0;

cur->_bf = -1;

grandson->_bf = 0;

}

else if (bf == -1) {

parent->_bf = 1;

cur->_bf = 0;

grandson->_bf = 0;

}

else {

assert(false); //错误检查

}

}



//4. 右左

void RotateRL(Node* parent) {

//我是儿子(父的右孩子),但是主角是孙子

//记录下孙子(我的左孩子)

//记录下孙子的平衡因子(特征)

//对孙子进行右单旋,再左单旋

//更新平衡因子

Node* cur = parent->_right;

Node* grandson = cur->_left;

int bf = grandson->_bf;



RotateR(cur); //将孙子的爹,就是我,进行右单旋

RotateL(grandson->_parent); //将儿子的新爹进行左单旋



//三种情况

if (bf == 0) {

parent->_bf = 0;

cur->_bf = 0;

grandson->_bf = 0;

}

else if (bf == 1) {

parent->_bf = -1;

cur->_bf = 0;

grandson->_bf = 0;

}

else if (bf == -1) {

parent->_bf = 0;

cur->_bf = 1;

grandson->_bf = 0;

}

else {

assert(false);

}

}

1.2.4.2 插入操作实现

bool Insert(const std::pair kv) {

//第一个结点做根

if (_root == nullptr) {

_root = new Node(kv);

_size++;

return true;

}



//搜索

Node* parent = _root;

Node* cur = _root;

while (cur) {

//大于往右走

if (kv.first > cur->_kv.first) {

parent = cur;

cur = cur->_right;

}

//小于往左走

else if (kv.first ->_kv.first) {

parent = cur;

cur = cur->_left;

}

//找到了,存在相同的key

else {

return false;

}

} //循环搜索...



//不存在,可以插入

cur = new Node(kv);                         //new后,cur值发生改变,之后都不能使用地址进行比较

if (cur->_kv.first ->_kv.first) {

parent->_left = cur;

}

else {

parent->_right = cur;

}

cur->_parent = parent; //三叉链链上父结点

_size++;



//调整平衡因子 : 最多到根,根的parent为nullptr

while (parent) {



//更新平衡因子

if (cur->_kv.first ->_kv.first) {

parent->_bf--;

}

else {

parent->_bf++;

}



//看是否需要调整

if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {

cur = parent;

parent = parent->_parent;

}

else if(parent->_bf == 0){

break;

}

else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {      //左左

RotateR(parent);

}

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {   //右右

RotateL(parent);

}

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {  //左右

RotateLR(parent);

}

else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){    //右左

RotateRL(parent);

}

else {                                          //错误检查

assert(false);

}

break;

}

else {

assert(false);

}

}



return true;

}

1.2.4.3 树高度与是否平衡树判断实现

size_t Hight() {

return _Hight(_root);

}



bool IsBalance() {

return _IsBalance(_root);

}



size_t _Hight(Node* root) {

if (root == 0) return 0;                //空

size_t leftH = _Hight(root->_left);

size_t rightH = _Hight(root->_right);

return std::max(leftH, rightH) + 1;     //+1:自己高度为1

}



bool _IsBalance(Node* root) {

if (root == nullptr) return true;

int leftH = _Hight(root->_left);

int rightH = _Hight(root->_right);

int bf = rightH-leftH;

return  bf == root->_bf         //平衡因子

&& (bf > -2 && bf 2)      //高度差

&& _IsBalance(root->_left)

&& _IsBalance(root->_right);

}

1.2.4.4 其他实现

#include

#include

#include



templateclass K,class V>

struct AVLTreeNode {



//三叉链

AVLTreeNode* _left;

AVLTreeNode* _right;

AVLTreeNode* _parent;



int _bf; //balance factor

std::pair _kv;



AVLTreeNode(const std::pair& kv)

:_left(nullptr),

_right(nullptr),

_parent(nullptr),

_bf(0),

_kv(kv)

{}

};



templateclass K,class V>

class AVLTree {

public:

using Node = AVLTreeNode;

AVLTree()

:_root(nullptr)

,_size(0)

{}



public:

void InOrder() {

_InOrder(_root);

std::cout

}







private:

void _InOrder(Node* root) {

if (root == nullptr) {

return ;

}

_InOrder(root->_left);

std::cout_kv.first" ";

_InOrder(root->_right);

}







private:

Node* _root;

size_t _size;

};

1.2.5 插入验证

1. 两个数组包含各种旋转情况
2. 每插入都判断是否平衡

int main() {

std::cout

//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };

int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };

AVLTreeint, int> t;

for (int it : a) {

t.Insert(std::make_pair(it, it));

std::cout "是否平衡: " IsBalance() 

}



t.InOrder();								//3 7 9 11 14 15 16 18 26

}

1.2.6 BenchMark

1.2.6.1 环境

1.2.6.2 测试工具和方法

工具

• void RandomArray_Generator(int* a, int n)：随机数生成器
• void Cost(std::function func)：计算函数执行时间花销。使用包装器接收任意可调用对象

测试方法

计算1000000个随机数，有序数，逆序数，重复数插入的时间开销。

void RandomArray_Generator(int* a, int n) {

std::random_device rnd;//random num device //效率低，只用于生成种子

std::mt19937 rng(rnd()); //random num generator -- 生成随机数

std::uniform_int_distributionint> uni(0, 1000000000);//整型区间筛选

//[0-N]有6成为不重复,4成重复 --若需要9成不重复需要扩大筛选范围为10倍的N,即插入N需筛选10N



//int a[] = { 3,1,8,4,2,7,5,9,6,0 }; //自定义数组

int size = n;

for (int i = 0; i 

a[i] = uni(rng); //随机数

//a[i] = size - i; //逆序

//a[i] = i;         //正序

//a[i] = size/2;     //重复数

if (i % 10000 == 0) {

a[i] = uni(rng);  //插入一些随机数

}

}

}



void Cost(std::functionvoid(void)> func) {

auto begin = std::chrono::high_resolution_clock::now();

func();

auto end = std::chrono::high_resolution_clock::now();

std::chrono::durationdouble> cost = end - begin;

std::coutcount()"/s" 

}



void InsertTest(AVLTreeint,int>& t, int* a, int size) {

for (int i = 0; i 

t.Insert(std::make_pair(a[i], a[i]));

//if (t.IsBalance() == false) assert(false);

}

}





int main() {

//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };

//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };

int size = 1000000;

int* a = new int[size];

RandomArray_Generator(a,size);

AVLTreeint, int> t;

InsertTest(t,a,size);

Cost([&](){std::cout"cost: ";InsertTest(t, a, size); });

//t.InOrder();

std::cout

std::cout "是否平衡: " IsBalance() 

}

1.2.6.3 测试结果：

• 随机数

  

• 逆序数

  

• 正序数

  

• 重复数